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(12分)设函数,曲线在点处的切线方程为
(I)求
(II)证明:
(I);(II)详见解析.

试题分析:(I)由切点在切线上,代入得①.由导数的几何意义得②,联立①②求;(II)证明成立,可转化为求函数的最小值,只要最小值大于1即可.该题不易求函数的最小值,故可考虑将不等式结构变形为,分别求函数的最值,发现的最小值为的最大值为.且不同时取最值,故成立,即注意该种方法有局限性只是不等式的充分不必要条件,意即当成立,最值之间不一定有上述关系.
试题解析:(I)函数的定义域为
由题意可得,.故
(II)由(I)知,,从而等价于,设函数,则.所以当时,;当时,.故递减,在递增,从而的最小值为.设,则.所以当时,;当时,.故递增,在递减,从而的最大值为.综上,当时,,即
【考点定位】1、导数的几何意义;2、利用导数判断函数的单调性;3、利用导数求函数的最值.
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