Question

已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）实数的取值范围是；（3）实数的取值范围．

试题分析：（1）求的导数，找出处的导数即切线的斜率，由点斜式列出直线的方程即可；（2）求出函数的定义域，在定义域内利用导数与函数增减性的关系，转化为恒成立问题进行求解即可；(3)讨论在定义域上的最值，分情况讨论的增减性，进而解决存在成立的问题即可．
（1）当时，函数，
，曲线在点处的切线的斜率为
从而曲线在点处的切线方程为，即    3分
（2）
令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立
由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
∴，     只需，即时，
∴在内为增函数，正实数的取值范围是         7分
（3）∵在上是减函数
∴时，；时，，即
①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数
当时，，因为，所以，
此时，在内是减函数
故当时，在上单调递减，不合题意
②当时，由，所以
又由(Ⅱ)知当时，在上是增函数
∴，不合题意      12分
③当时，由(Ⅱ)知在上是增函数，
又在上是减函数，故只需，
而，
即，解得
所以实数的取值范围是     15分．