Question

20．已知sin$\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，则cos2θ=$\frac{79}{81}$．

Answer 1

分析 利用sin$\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，求出sinθ=-$\frac{1}{9}$，利用cos2θ=1-2sin²θ，可得结论．

解答 解：∵sin$\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴1+sinθ=$\frac{8}{9}$，
∴sinθ=-$\frac{1}{9}$，
∴cos2θ=1-2sin²θ=1-2×$\frac{1}{81}$=$\frac{79}{81}$．
故答案为$\frac{79}{81}$．

点评 本题考查二倍角的余弦，考查同角三角函数关系的运用，属于中档题．