Question

圆C：（x-5）²+（y-4）²=6内的一定点A（4，3），在圆上作弦MN，使∠MAN=90°，求弦MN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：求出圆的圆心坐标和半径，作出图形，设出P的坐标，数形结合列式可得弦MN的中点P的轨迹方程．

解答： 解：如图所示，
根据题意可知：⊙C的圆心坐标C（5，4）；半径R=

6

，
∵在圆上作弦MN，使∠MAN=90°，弦MN的中点为P，
∴AP=PN，AP=

(x-4)2+(y-3)2

又根据垂径定理有：PN=

CN2-CP2

，
设P（x，y），则AP=

(x-4)2+(y-3)2

CP²=（x-5）²+（y-4）²．
∴PN=

6-[(x-5)2+(y-4)2]

，
∴（x-4）²+（y-3）²=6-[（x-5）²+（y-4）²]
整理得MN的中点P的轨迹为：x²+y²-9x-7y+60=0．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了数学结合的解题思想方法，是中档题．