Question

已知椭圆C₁:=1(a＞b＞0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C₁上任一点,MN是圆C₂:x²+(y-3)²=1的一条直径.若与AF平行且在y轴上的截距为3-的直线l恰好与圆C₂相切.

（1）求椭圆C₁的离心率；

（2）若·的最大值为49，求椭圆C₁的方程.

Answer 1

解:(1)直线l的方程为bx+cy-(3-)c=0.

因为直线l与圆C₂：x²+(y-3)²=1相切,所以d==1.

可得2c²=a²,从而e=.

(2)设P(x,y),则·=(+)(+)=- =x²+(y-3)²-1=-(y+3)²+2c²+17(-c≤y≤c),

或者设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，P(x,y),因为x₁+x₂=0,y₁+y₂=6,x₁²+y₁²-6y₁+8=0.

所以·=(x₁-x)(x₂-x)+(y₁-y)(y₂-y)=x²+y²-(x₁+x₂)x+(y₁+y₂)y+x₁x₂+y₁y₂=x²+y²+6y-x₁²+y₁

(6-y₁)=x²+y²+6y+8=-(y+3)²+2c²+17.

①当c≥3时,(·)_max=17+2c²=49,解得c=4,此时椭圆C₁为+=1.

②当0＜c＜3时,(·)_max=-(-c+3)²+17+2c²=49,

解得c=5-3,但(5-3)-3=-6＞0,

所以5-3＞3.故c=5-3舍去.

综上所述,椭圆C₁的方程为=1.