Question

16．已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度后所得的函数过点$（{-\frac{π}{6}，1}）$，则函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（　　）

• A． 在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上单调递减
• B． 在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上单调递增
• C． 在区间$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上单调递减
• D． 在区间$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上单调递增

Answer 1

分析 利用正弦函数的周期性求得ω，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，利用正弦函数的单调性得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）的最小正周期是$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
将函数f（x）图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度后所得的函数的解析式为 y=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+ϕ=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+ϕ），
根据所得图象过点$（{-\frac{π}{6}，1}）$，∴sin（-$\frac{π}{3}$+$\frac{2π}{3}$+ϕ）=1，∴$\frac{π}{3}$+ϕ=$\frac{π}{2}$，即ϕ=$\frac{π}{6}$．
则函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上没有单调性，故排除A、B；
在区间$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）在在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上单调递增，故排除C，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．