Question

17．在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点．
（1）求证：CF∥平面A₁DE；
（2）求直线AA₁与平面A₁DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取A₁D中点M，连接FM，推导出平行四边形CFME，由此能证明CF∥平面A₁DE．
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线为轴建系，利用向量法能求出直线AA₁与平面A₁DE所成角的余弦值．

解答 解：（1）取A₁D中点M，连接FM，
∵F为DD₁中点，
∴FM∥A₁D₁且FM=$\frac{1}{2}$A₁D₁，…（3分）
又∵CE∥A₁D₁且$CE=\frac{1}{2}{A_1}{D_1}$，∴FM∥CE且FM=CE，
∴平行四边形CFME，∴CF∥ME，
又∵EM⊆面A₁DE，∴CF∥平面A₁DE．…（5分）
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所在直线为轴建系，
则A（1，0，0），A₁（1，0，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），…（6分）
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，1），面A₁DE的法向量可取$\vec u=（-1，\frac{1}{2}，1）$，…（8分）
∴cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{μ}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{μ}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}|•|\overrightarrow{μ}|}$=$\frac{2}{3}$，…（9分）
∴cos$θ=sin＜\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{μ}＞$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴直线AA₁与平面A₁DE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．…（10分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．