Question

11．设函数f（x）=ax²-2x+2，对于任意x∈（1，4），都有f（x）＞0，则实数a的取值范围是a$＞\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据二次函数的图象和性质，分a＜0，a=0和a＞0三种情况，分别讨论满足对于任意x∈（1，4），都有f（x）＞0的实数a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：若a＜0，则对于任意x∈（1，4），都有f（x）＞0时，$\left\{\begin{array}{l}f（1）≥0\\ f（4）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\ 16a-6≥0\end{array}\right.$，此时不满足满足条件的a值；
若a=0，则函数f（x）=-2x+2，当x∈（1，4）时，f（x）＜0恒成立，不满足条件；
若a＞0，当△=4-8a＜0，即a$＞\frac{1}{2}$时，f（x）＞0恒成立，满足条件；
当△=4-8a≥0，即0＜a$≤\frac{1}{2}$时，函数f（x）的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{a}$＞2为对称轴的直线，
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＞4\\ f（4）=16a-6≥0\end{array}\right.$，此时不存在满足条件的a值，
综上实数a的取值范围是a$＞\frac{1}{2}$，
故答案为：a$＞\frac{1}{2}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．