Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0．
（1）求公差d的取值范围．
（2）指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一个值最大，并说明理由．

Answer 1

（1）依题意，有S12=12a1+

12×(12-1)

2

•d＞0，
S13=13a1+

13×(13-1)

2

•d＜0
即

2a1+11d＞0① a1+6d＜0②

由a₃=12，得a₁=12-2d③，
将③式分别代①、②式，得

24+7d＞0 3+d＜0

∴-

24

7

＜d＜-3．

（2）由d＜0可知a₁＞a₂＞a₃＞…＞a₁₂＞a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a_n＞0，a_n+1＜0，
则S_n就是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值．
?

6(a1+a12)=6(a6+a7)＞0 13 2 (a1+a13)= 26a7 2 =13a7＜0

，
∴a₆＞0，a₇＜0，
故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．