Question

设函数f（x）=2asin2x+4cos²x-3，若对x∈R均有f（x）≥f（-

π

3

）恒成立．
（Ⅰ）求实数a的值及函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且a=2，f（A）=1，求△ABC的内切圆半径r的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,复合三角函数的单调性

专题：综合题,解三角形

分析：（Ⅰ）由题意知x=-

π

3

为函数f（x）的一个最小值点，可得实数a的值，利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）由f（A）=1，求出A，利用等面积，表示出r，再利用基本不等式，即可求△ABC的内切圆半径r的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2asin2x+2（2cos²x-1）-1=2asin2x+2cos2x-1
由题意知x=-

π

3

为函数f（x）的一个最小值点，则有：f(-

π

3

)=-

22+(2a)2

-1⇒2asin(-

2

3

π)+2cos(-

2

3

π)-1=-

22+(2a)2

-1⇒a=

3

，
则f(x)=2

3

sin2x+2cos2x-1=4sin(2x+

π

6

)-1
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
即函数的单调递减区间为[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．
（Ⅱ）f(A)=4sin(2A+

π

6

)-1=1⇒sin(2A+

π

6

)=1⇒2A+

π

6

=

5π

6

⇒A=

π

3

设△ABC的面积为S，则

1

2

(a+b+c)r=S，即r=

2S

a+b+c

=

bcsinA

a+b+c

=

3

2

•

bc

b+c+2

由余弦定理有：b2+c2-a2=2bccosA=bc⇒(b+c)2-4=3bc⇒bc=

(b+c)2-4

3

则r=

3

6

•

(b+c)2-4

b+c+2

=

3

6

•

(b+c+2)(b+c-2)

b+c+2

=

3

6

•(b+c-2)
由（b+c）²-4=3bc可得(b+c)2-4≤3•(

b+c

2

)2即b+c≤4，
从而r=

3

6

•(b+c-2)≤

3

6

•(4-2)=

3

3

，即rmax=

3

3

，当且仅当b=c=2时取得．

点评：本题考查余弦定理，考查三角函数的化简，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．