Question

17．设a＞b＞0，则a²+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{a（a-b）}$的最小值是4．

Answer 1

分析 变形可得a²+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{a（a-b）}$=ab+$\frac{1}{ab}$+a（a-b）+$\frac{1}{a（a-b）}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞b＞0，∴a-b＞0，
∴a²+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{a（a-b）}$=a²-ab+ab+$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{a（a-b）}$
=ab+$\frac{1}{ab}$+a（a-b）+$\frac{1}{a（a-b）}$
≥2$\sqrt{ab•\frac{1}{ab}}$+2$\sqrt{a（a-b）•\frac{1}{a（a-b）}}$=4，
当且仅当ab=$\frac{1}{ab}$且a（a-b）=$\frac{1}{a（a-b）}$即a=$\sqrt{2}$且b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
故答案为：4．

点评 本题考查基本不等式求最值，添项并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．