Question

19．已知函数f（x）=log₃x，x∈[3，27]，g（x）=f²（x）-2m•f（x）+3的最小值为h（m）．
（1）求h（m）；
（2）是否存在实数a，b，同时满足下列条件：
①b＜a＜1
②当h（m）的定义域为[b，a]时，值域为[b²，a²]，若存在，求出a和b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的值域，利用换元法把函数g（x）化为二次函数，求出它在闭区间上的最小值h（m）即可；
（2）根据题意得b＜a＜1时，h（m）在[b，a]上为减函数，求出h（m）在[b，a]上的值域，判断它是否满足题目中的条件即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₃x，x∈[3，27]，
∴1=log₃3≤f（x）≤log₃27=3，
即f（x）∈[1，3]；
设f（x）=t，则t∈[1，3]，
∴函数g（x）=f²（x）-2m•f（x）+3可化为
g（t）=t²-2mt+3=（t-m）²-m²+3，t∈[1，3]；
当m≤1时，g（t）在[1，3]上是增函数，最小值是h（1）=4-2m；
当m≥3时，g（t）在[1，3]上是减函数，最小值是h（3）=12-6m；
当1＜m＜3时，g（t）在[1，3]上先减后增，最小值是h（m）=3-m²；
∴函数g（x）的最小值是h（m）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2m，m≤1}\\{3{-m}^{2}，1＜m＜3}\\{12-6m．m≥3}\end{array}\right.$；
（2）当m≤1时，h（m）=4-2m，
∴b＜a＜1时，h（m）在[b，a]上为减函数，
∴h（m）在[b，a]上的值域为[h（a），h（b）]；
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{h（a）{=b}^{2}}\\{h（b）{=a}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4-2a{=b}^{2}}\\{4-2b{=a}^{2}}\end{array}\right.$，
两式相减，得2b-2a=b²-a²；
又a≠b，∴a+b=2，这与b＜a＜1矛盾；
∴不存在满足题中条件的a，b的值．

点评 本题考查了一次、二次函数的值域问题，也考查了换元法与转化思想的应用问题，对于二次函数在定区间上的值域问题一般结合图象和单调性来处理，是综合性题目．