Question

14．在△ABC中，角A，B，C满足ccosB=（2a-b）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC是锐角三角形，求函数y=2sinB-cos2B的值域；
（3）在三角形ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=1，求△ABC周长的范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）-2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC=$\frac{1}{2}$，可得角C的大小；
（2）运用二倍角公式得出y=2sinB²+2sinB-1，再运用二次函数性质求解即可．
（3）根据题意得出：ABC周长=1+b+a，利用正弦定理，三角公式化简得出1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sinA）=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B））=1$+2sin（B+\frac{π}{6}$）求解即可．

解答 解：（1）∵在△ABC中，ccosB=（2a+b）cosC，
∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin（B+C）=2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1-2cosC）=0，可得cosC=$\frac{1}{2}$．
又∵C是三角形的内角，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）B+C=$\frac{2π}{3}$，
∵△ABC是锐角三角形
∴$\frac{π}{6}$$＜B＜\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$＜sinB＜1，
函数y=2sinB-cos2B=2sinB²+2sinB-1，
根据二次函数的性质得出：$\frac{1}{2}$＜y＜3，
∴值域（$\frac{1}{2}$，3）；
（3）∵c=1，C=$\frac{π}{3}$，
∴根据正弦定理得出：$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2R，
2R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，0$＜B＜\frac{2π}{3}$，
根据三角函数的性质得出：1$＜2sin（B+\frac{π}{6}）$≤2，2＜1$+2sin（B+\frac{π}{6}$）≤3，
△ABC周长的范围：（2，3]．

点评 本题给出三角形的一边长与边角关系式，求角C的大小并依此求三角形面积的最大值．着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式三角函数的图象性质，属于中档题