Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）利用cos²α+sin²α=1可把曲线C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$（α为参数）化为直角坐标方程，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展开$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）=2\sqrt{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）设点P的坐标为$（2cosα，\sqrt{5}sinα）$，利用点到直线的距离公式可得P到直线l的距离d=$\frac{|2cosα+\sqrt{5}sinα-4|}{\sqrt{2}}$，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{5}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C的直角坐标方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，展开$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）=2\sqrt{2}$，ρcosθ+ρsinθ=4，
∴直线l的直角坐标方程为x+y=4．
（2）设点P的坐标为$（2cosα，\sqrt{5}sinα）$，
得P到直线l的距离d=$\frac{|2cosα+\sqrt{5}sinα-4|}{\sqrt{2}}$，令sinφ=$\frac{2}{3}$，cosφ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
则d=$\frac{|3sin（α+φ）-4|}{\sqrt{2}}$，显然当sin（α+φ）=-1时，d_max=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．此时α+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
∴cosα=$cos（2kπ+\frac{3π}{2}-φ）$=-sinφ=-$\frac{2}{3}$．sinα=sin$（2kπ+\frac{3π}{2}-φ）$=-cosφ=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，即P$（-\frac{4}{3}，-\frac{5}{3}）$．

点评 本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．