Question

16．如图，多面体ABCDE中，CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AB=BC，BE=$\frac{1}{2}$CD，
点M为AD中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：EM⊥平面ACD；
（Ⅲ）设P为线段BC上一点，且CP=2PB，试在线段AE上确定一点Q，使得
     PQ∥平面ACD，并求出$\frac{EQ}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC的中点为F，连结BF，MF．可证得四边形BEMF为平行四边形，进而ME∥BF，结合线面平行的判定定理，可得EM∥平面ABC；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=BC，F为AC的中点，所以BF⊥AC，再由线面垂直的定义，结合CD⊥平面ABC，可得DC⊥BF，进而由线面垂直的判定定理，得到BF⊥平面ACD，结合线面垂直的第二判定定理得到EM⊥平面ACD；
（Ⅲ）过点P作PN∥AC交AB于N，过点N作QN∥BE交AE于Q，连结PQ，此时PQ∥平面ACD，由比例关系易得$EQ=\frac{1}{3}AE$．

解答 证明：（Ⅰ）设AC的中点为F，连结BF，MF．
在△ACD中，点M为AD中点，
$所以\;FM∥CD，FM=\frac{1}{2}CD$…（1分）
又因为CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，
$所以\;BE∥CD，BE=\frac{1}{2}CD$，…（2分）
所以BE∥FM，BE=FM…（3分）
所以四边形BEMF为平行四边形．…（4分）
所以ME∥BF，ME?平面ABC，BF?平面ABC，
故EM∥平面ABC．…（5分）
（Ⅱ）在△ABC中，AB=BC，F为AC的中点，所以BF⊥AC．…（7分）
又因为CD⊥平面ABC，BF?平面ABC，
所以DC⊥BF．…（8分）
因为CD∩AC=C，
所以BF⊥平面ACD
由（Ⅰ）知 ME∥BF，
所以 EM⊥平面ADC．…（9分）
（Ⅲ）过点P作PN∥AC交AB于N，过点N作QN∥BE交AE于Q，
连结PQ，则由比例关系易得$EQ=\frac{1}{3}AE$．…（10分）
所以PN∥AC，PN?平面ACD，AC?平面ACD．…（11分）
所以PN∥平面ACD．
因为CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，
所以CD∥BE．
$\begin{array}{l}故QN∥CD，\\ 又因为QN?平面ACD，CD?平面ACD，\end{array}$，…（12分）
由CD∩AC=C，CD，AC?平面ADC．
所以平面PQN∥平面ACD，
由PQ?平面PQN．
故PQ∥平面ACD．
$所以\frac{EQ}{AE}=\frac{1}{3}$．…（14分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线平面垂直的判定，考查转化能力和空间想像能力，难度中档．