Question

7．已知点F（c，0），A分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点和上顶点，点B为直线l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$上一动点，且△ABF的外接圆面积最小值为4π，则当椭圆的短轴最长时，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意作出图象，当AB⊥l时，可判断r=$\frac{AB}{2}$，且此时AB的长度最短；再由两点之间，线段最短可知AB=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，从而再由b²=a²-c²=4c-c²=-（c-2）²+4；从而求c与b，再求椭圆的离心率即可．

解答 解：如右图，O为△ABF的外接圆的圆心；
由题意知，A（0，b），F（c，0）；
当AB⊥l时，B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，b）；
则$\overrightarrow{AF}$=（c，-b），$\overrightarrow{BF}$=（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-b）；
$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=c（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）+b²=c²+b²-a²=0，
故$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{BF}$；
此时，r=$\frac{AB}{2}$，且此时AB的长度最短；
当AB与l不垂直时，2r＞AB；
则r＞$\frac{AB}{2}$；
当AB⊥l时，△ABF的外接圆的半径最小；
又∵△ABF的外接圆面积最小值为4π，
∴当AB⊥l时，AB=4；
即$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即a²=4c；
b²=a²-c²=4c-c²=-（c-2）²+4；
故当c=2时，b有最大值2；
此时a=2$\sqrt{2}$；
故椭圆的离心率为$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的性质应用及椭圆中的最值问题的应用，同时考查了利用平面向量判断位置关系的应用，属于中档题．