Question

2．如图1，△ABC，AB=AC=4，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，D为BC的中点，DE⊥AC，沿DE将△CDE折起至△C′DE，如图2，且C'在面ABDE上的投影恰好是E，连接C′B，M是C′B上的点，且$C'M=\frac{1}{2}MB$．
（1）求证：AM∥面C′DE；
（2）求三棱锥C′-AMD的体积．

Answer 1

分析 （1）要证AM∥面C′DE，可证AM所在的平面平行于面C′DE，结合已知过M作MN∥C'D，交BD于N，连接AN，利用面面平行的判定证明面AMN∥面C'DE；
（2）利用等积法把三棱锥C′-AMD的体积转化为$\frac{1}{2}$V_B-AMD，进一步转化为M-ABD的体积求解．

解答 （1）证明：过M作MN∥C'D，交BD于N，连接AN，于是$DN=\frac{1}{2}NB$，
又AB=AC=4，$∠BAC=\frac{2π}{3}$，∴$B{C}^{2}={4}^{2}+{4}^{2}-2×4×4cos（\frac{2}{3}π）=48$，
∴BC=4$\sqrt{3}$，又D为BC的中点，
则DB=$2\sqrt{3}$，又$C′M=\frac{1}{2}MB$，
∴$NB=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，∠B=$\frac{π}{6}$，由AN²=AB²+NB²-2AB•NB•cos$\frac{π}{6}$，得到$AN=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴∠ANB=$\frac{2}{3}π$，得AN∥ED，
∴面AMN∥面C'DE，即AM∥面C'DE；

（2）∵$C'M=\frac{1}{2}MB$，∴${V_{C'-AMD}}=\frac{1}{2}{V_{B-AMD}}=\frac{1}{2}{V_{M-ABD}}$，
又C′E⊥面ABD，∴M到平面ABD的距离h=2，${S_{△ABD}}=2\sqrt{3}$，
∴${V_{M-ABD}}=\frac{1}{3}×2×2\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，即得三棱锥C′-AMD的体积为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．