Question

13．直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若点AM是BC边上的高线，点P在△ABC 内部或边界上运动，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$的范围是（　　）

• A． [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0]
• B． [-$\frac{3}{4}$，0]
• C． [-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0]
• D． [-3，0]

Answer 1

分析 由题意画出图形，然后建系，求出M的坐标，数形结合可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$的最大值为0，且可知当P在线段AC上时，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$有最小值，设P（0，y）（0$≤y≤\sqrt{3}$），写出数量积的坐标表示，由y的范围求得最小值．

解答 解：如图，

由AB=1，BC=2，可得AC=$\sqrt{3}$，
以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$），直线BC方程为$x+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，
则直线AM方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{x+\frac{y}{\sqrt{3}}=1}\end{array}\right.$，解得：M（$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$），
由图可知，当P在线段BC上时，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$有最大值为0，
当P在线段AC上时，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$有最小值，设P（0，y）（0$≤y≤\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$）（-1，y）=$-\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}y$$≥-\frac{3}{4}$．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BP}$的范围是[$-\frac{3}{4}，0$]．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标运算，考查了数形结合的解题思想方法，想到建系是解答该题的关键，是中档题．