Question

3．在△ABC中，角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a²+b²=ab+c²．
（Ⅰ） 求tan（C-$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ） 若c=$\sqrt{3}$，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，确定出C的度数，代入tan（C-$\frac{π}{4}$）计算即可求出值；
（Ⅱ）把c的值代入已知等式变形，利用基本不等式求出ab的最大值，再由sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵a²+b²=ab+c²，a²+b²-c²=ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∵C为△ABC内角，
∴C=$\frac{π}{3}$，
则tan（C-$\frac{π}{4}$）=tan（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由ab+3=a²+b²≥2ab，得ab≤3，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
∴S_△ABC≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当且仅当a=b=$\sqrt{3}$时“=”成立，
则S_△ABC的最大值是$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．