Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的离心率为2，一个焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为3x²-y²=1．

Answer 1

分析 设右焦点为（ c，0 ），一条渐近线为bx-ay=0，根据点到直线的距离公式$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，求出b，再根据离心率以及c²=a²+b²，求出c，即可求出结果

解答 解：设右焦点为（ c，0 ），一条渐近线为bx-ay=0，
根据点到直线的距离公式$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，可得b=1，
因为离心率$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以双曲线的方程为3x²-y²=1，
故答案为：3x²-y²=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，求出b值是解题的关键．