Question

4．某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	①	0.350
第3组	[170，175）	30	②
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185）	10	0.100
合计		100	1.00

Answer 1

分析 （1）根据频率、频数与样本容量的关系，求出对应的数值，画出频率分布直方图；
（2）利用分层抽样原理，求出各小组应抽取的人数；
（3）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．

解答 解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，
第3组的频率为$\frac{30}{100}$=0.300，频率分布直方图如图所示；
（2）因为第3、4、5组共有60名学生，
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：$\frac{30}{60}$×6=3人；第4组：$\frac{20}{60}$×6=2人；
第5组：$\frac{10}{60}$×6=1人．
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
（3）设第3组的3位同学为A₁、A₂、A₃，
第4组的2位同学为B₁、B₂，第5组的1位同学为C，
则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下：
A₁A₂，A₁A₃，A₁B₁，A₁B₂，A₁C，A₂A₃，
A₂B₁，A₂B₂，A₂C，A₃B₁，A₃B₂，A₃C，B₁B₂，B₁C，B₂C；
其中第4组的2位同学B₁，B₂至少有一位同学入选的有：
A₁B₁，A₁B₂，A₂B₁，A₂B₂，A₃B₁，A₃B₂，B₁B₂，B₁C，B₂C共9种可能；
所以其中第4组的2位同学B₁、B₂至少有一位同学入选的概率为
P=$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，考查了利用列举法求概率的应用问题，是基础题目．