Question

8．已知椭圆C方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），左、右焦点分别是F₁，F₂，若椭圆C上的点$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$到F₁，F₂的距离和等于4
（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，
（i）若直线l倾斜角为$\frac{π}{3}$，求|AB|的值．
（ii）若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过椭圆定义及将点$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$代入椭圆C，计算即得结论；
（Ⅱ）（i）通过设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线l的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理计算即可；（ii）通过设l：y=kx+2并代入椭圆C的方程，利用根的判别式大于0可得k²＞$\frac{3}{4}$，利用韦达定理及$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＞0计算可得k²＜4，进而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：2a=4，即a=2，
又点$P（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆C上，∴$\frac{1}{4}+\frac{\frac{3}{4}}{{b}^{2}}=1$，即b²=1，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
焦点F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）；
（Ⅱ）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l的斜率为$\sqrt{3}$，且过点M（0，2），
故直线l的方程为：y=$\sqrt{3}$x+2，代入椭圆C的方程，
整理得：13x²+16$\sqrt{3}$x+12=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16\sqrt{3}}{13}$，x₁x₂=$\frac{12}{13}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{24}{13}$；
（ii）由题意得直线l的斜率存在且不为0，
设l：y=kx+2，代入椭圆C的方程，整理得：
（1+4k²）x²+16kx+12=0，
∵△=（16k）²-4•（1+4k²）•12=16（4k²-3）＞0，
∴k²＞$\frac{3}{4}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）•（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=（1+k²）$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+2k（-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$）+4
=$\frac{4（4-{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$＞0，
∴k²＜4，
∴$\frac{3}{4}$＜k²＜4，
∴直线l的斜率k的取值范围是：（-2，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2）．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．