Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底圆ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点，点G在线段BC上，且BG=3．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AG-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD便可得到CD⊥PA，并且CD⊥AD，从而得到CD⊥平面PAD，从而根据面面垂直的判定定理即可得出平面PDC⊥平面PAD；
（2）以AB，AD，AP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后确定图形上各点的坐标，能够看出AP是平面CAG的一条法向量．并设平面EAG的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$，设二面角E-AG-C的大小为θ，根据cos$θ=-cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}＞$即可求出cosθ，从而求出tanθ．

解答 解：（1）证明：PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD；
∴CD⊥PA；
ABCD是矩形，∴CD⊥AD，AD∩PA=A；
∴CD⊥平面PAD，CD?平面PDC；
∴平面PDC⊥平面PAD；
（2）以A为坐标原点，边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），E（0，2，1），G（2，3，0）；
$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$为平面CAG的一条法向量，设平面EAG的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}=2x+3y=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=-2y}\\{x=-\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$，取y=2，则$\overrightarrow{n}=（-3，2，-4）$；
设二面角E-AG-C的大小为θ，则cosθ=$-cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{8}{2×\sqrt{29}}=\frac{4}{\sqrt{29}}$；
∴$sinθ=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{29}}，tanθ=\frac{\sqrt{13}}{4}$；
即二面角E-AG-C的正切值为$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

点评 考查线面垂直的性质，线面垂直、面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角问题的方法，平面法向量的概念及求法，弄清平面法向量的夹角和平面二面角的大小的关系．