Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=（2，λ），$\overrightarrow{b}$=（sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），1），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1），若存在x∈（0，$\frac{π}{2}$），使$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 利用线面的数量积公式得到函数解析式，然后化简

解答 解：由已知$\overrightarrow{a}$=（2，λ），$\overrightarrow{b}$=（sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），1），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ，（x∈R）它的图象关于直线x=π对称，
所以当x=π时，2sin（2ωπ-$\frac{π}{6}$）取最值，所以2ωπ-$\frac{π}{6}$=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z，所以ω=$\frac{k}{2}+\frac{1}{3}$，又ω∈（$\frac{1}{2}$，1），所以ω=$\frac{5}{6}$，
所以f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+λ，
当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，f（x）=0即2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）+λ=0
所以sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{λ}{2}$，
因为x∈（0，$\frac{π}{2}$），所以（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）∈（$-\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
所以sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]
所以$-\frac{λ}{2}∈$（$-\frac{1}{2}$，1]，
所以λ的取值范围是[-2，1）．

点评 本题考查了平面向量的数量积公式的运用以及向量垂直的性质和三角函数式的恒等变形；注意三角函数角度范围以及符号．