Question

5．已知梯形ABCD中，AD=DC=CB=$\frac{1}{2}$AB，P是BC边上一点，且$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$．当P是BC中点时，x+y=$\frac{5}{4}$；当P在BC边上运动时，x+y的最大值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 ①以AB为x轴，过点A与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设AB=2，用向量表示$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$，根据$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，列出方程组，求出x、y的值；
②求出线段BC的方程，设出点P的坐标，利用①的方法即可求出x+y的最大值．

解答 解：①以AB为x轴，过点A与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
如图所示；
设AB=2，则AD=DC=CB=1，
且DC∥AB，∴∠BAD=60°；
∴A（0，0），B（2，0），C（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
∴BC的中点P（$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$，
∴（$\frac{7}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）=x（2，0）+y（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（2x+$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+\frac{1}{2}y=\frac{7}{4}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}y=\frac{\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
解得x=$\frac{3}{4}$，y=$\frac{1}{2}$；
∴x+y=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{4}$；
②线段BC的方程为y=-$\sqrt{3}$（x-2），（x∈[$\frac{3}{2}$，2]），
设点P（x₀，-$\sqrt{3}$（x₀-2）），x₀∈[$\frac{3}{2}$，2]，
∴$\overrightarrow{AP}$=（x₀，-$\sqrt{3}$（x₀-2）），
$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$=（2x+$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+\frac{1}{2}y{=x}_{0}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}y=-\sqrt{3}{（x}_{0}-2）}\end{array}\right.$，
解得x=x₀-1，y=-2x₀+4；
∴x+y=-x₀+3，
∵x₀∈[$\frac{3}{2}$，2]，∴当x=$\frac{3}{2}$时，x+y=-$\frac{3}{2}$+3=$\frac{3}{2}$为最大值．
故答案为：$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，并把向量进行坐标表示，是综合性题目．