Question

20．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则a的取值范围是（-∞，2]．

Answer 1

分析 将函数为增函数，转化为导函数大于等于0恒成立，分离出参数a，构造函数，基本不等式求出函数的最值，即可求出a的范围．

解答 解：∵f（x）=lnx-$\frac{a（x-1）}{x+1}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-2ax}{x（x+1）^{2}}$，
∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
即（x+1）²-2ax≥0在（0，+∞）恒成立，
∴a≤$\frac{（x+1）^{2}}{2x}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{x}$+2）≥$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2）=2，当且仅当x=1时取等号，
∴a≤2，
∴a的取值范围是（-∞，2]．
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，解决函数在某区间上单调性已知求参数问题，一般令导数大于等于0恒成立；解决不等式恒成立一般分离参数转化为求函数的最值，属于中档题．