Question

10．若正数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，则$\frac{1}{a-1}$+$\frac{4}{b-1}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 首先判断$\frac{1}{a-1}$＞0，$\frac{4}{b-1}$＞0；再由基本不等式确定最小值即可．

解答 解：∵a＞0，b＞0，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1；
∴a＞1，b＞1，a+b=ab；
∴$\frac{1}{a-1}$＞0，$\frac{4}{b-1}$＞0，
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{4}{b-1}$≥2$\sqrt{\frac{4}{（a-1）（b-1）}}$
=2$\sqrt{\frac{4}{ab-（a+b）+1}}$=4；
（当且仅当$\frac{1}{a-1}$=$\frac{4}{b-1}$，即a=$\frac{3}{2}$，b=3时，等号成立）．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的应用，注意等号成立的条件，属于中档题．