Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条直线段，称为该直径的共轭直径．已知椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
（Ⅰ）若一条直径的斜率为$\frac{1}{2}$，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（Ⅱ）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k₁、k₂，证明：四边形ACBD的面积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点差法，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（Ⅱ）确定A、B的坐标，C、D的坐标，求出点C到直线AB的距离，可得四边形ACBD的面积，即可得出结论．

解答 （Ⅰ）解：设斜率为$\frac{1}{2}$的直径平行的弦的端点坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），该弦中点为（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₁=2y，
（x₁，y₁）、（x₂，y₂），代入椭圆方程，相减得：k=$\frac{1}{2}$，
所以得：x+2y=0，
故该直径的共轭直径所在的直线方程为x+2y=0．…（5分）
（Ⅱ）证明：椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k₁、k₂．
四边形ACBD显然为平行四边形，设与AB平行的弦的端点坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则${k_1}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，${k_2}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$，故${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{{{x_1}^2-{x_2}^2}}=-\frac{1}{4}$．
由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x\\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$得A、B的坐标分别为$（\frac{4}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}，\frac{{4{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}）$，$（-\frac{4}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}，-\frac{{4{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}）$
故|AB|=$\frac{8}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}\sqrt{1+k_1^2}$，
同理C、D的坐标分别为$（\frac{4}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}，\frac{{4{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}）$，$（-\frac{4}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}，-\frac{{4{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}）$
所以，点C到直线AB的距离$d=\frac{{|{\frac{{4{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}-\frac{{4{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=\frac{{4|{{k_1}-{k_2}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{1+4k_2^2}}}$
设点C到直线AB的距离为d，四边形ACBD的面积为S，
则S=d|AB|=$\frac{{4|{{k_1}-{k_2}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{1+4k_2^2}}}$×$\frac{8}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}\sqrt{1+k_1^2}$=$\frac{{32|{{k_1}-{k_2}}|}}{{\sqrt{1+4k_1^2}\sqrt{1+4k_2^2}}}$
=$32\sqrt{\frac{{k_1^2+k_2^2-2{k_1}{k_2}}}{{1+4（k_1^2+k_2^2）+16{k^2}_1{k_2}^2}}}=16$，为定值．…（13分）

点评 本题考查新定义，考查椭圆方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．