Question

12．在极坐标系中，曲线C：ρ=2sinθ，A、B为曲线C的两点，以极点为原点，极轴为x轴非负半轴的直角坐标中，曲线E：$\left\{{\begin{array}{l}{x=4t+2}\\{y=-3t-3}\end{array}}\right.$上一点P，则∠APB的最大值为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由曲线C：ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可得直角坐标方程．曲线E：$\left\{{\begin{array}{l}{x=4t+2}\\{y=-3t-3}\end{array}}\right.$，消去参数t可得普通方程．当∠APB取最大值时，PA、PB与圆C相切，且PC最短即PC⊥l，利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：由曲线C：ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，
∴x²+y²=2y，配方为x²+（y-1）²=1．
曲线E：$\left\{{\begin{array}{l}{x=4t+2}\\{y=-3t-3}\end{array}}\right.$，消去参数t可得普通方程为3x+4y+6=0．
当∠APB取最大值时，PA、PB与圆C相切，且PC最短即PC⊥l，
此时在Rt△PAC中，$sin∠APC=\frac{1}{2}$，故$∠APC=\frac{π}{6}$，∠APB为$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了把参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、圆的切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．