Question

2．设p＞0，抛物线方程为C：x²=2px．如图所示，过焦点F作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过点（0，-1）．
（1）求满足条件的抛物线方程；
（2）过点（0，-2）作抛物线C的切线，若切点在第二象限，求切线m的方程．

Answer 1

分析 （1）求出G点的坐标为（p，$\frac{p}{2}$），推出切线的斜率，得到过点G的切线方程，然后求出p，即可求出抛物线的方程．
（2）设切点Q（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$）抛物线在Q点处的切线斜率为$\frac{{x}_{0}}{2}$，求出切线方程，点（0，-2）在切线上，求解Q，然后得到所求切线方程．

解答 解：（1）由x²=2px得y=$\frac{1}{2p}$x²，
当y=$\frac{p}{2}$得x=±p，∴G点的坐标为（p，$\frac{p}{2}$），…（2分）
y′=$\frac{1}{p}x$，y′|_x=p=1，
过点G的切线方程为y-$\frac{p}{2}$=x-p即y=x-$\frac{p}{2}$，…（5分）
令x=0得y=-$\frac{p}{2}$，
∴$-\frac{p}{2}=-1$即p=2，即抛物线的方程为x²=4x…（7分）
（2）设切点Q（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$）．（x₀＜0），由y′=$\frac{x}{2}$，知抛物线在Q点处的切线斜率为$\frac{{x}_{0}}{2}$，…（9分）
∴所求切线方程y-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$（x-x₀），
即y=$\frac{{x}_{0}}{2}x-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$．…（11分）
∵点（0，-2）在切线上，
∴-2=-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$，
∴x₀=2$\sqrt{2}$（舍去）或x₀=-2$\sqrt{2}$． …（13分）
∴所求切线方程为y=-$\sqrt{2}x-2$． …（14分）

点评 本题考查直线与抛物线方程的综合应用，曲线的切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．