Question

12．如图，平面ABDE⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，AE=2BD=4，P、M分别为CE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PD∥平面ABC；
（Ⅱ）是否在EM上存在一点N，使得PN⊥平面ABDE．若存在，请指出点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）取AC的中点F，连接PF，BF，根据三角形中位定理及平行四边形的判定及性质，可得PD∥BF，进而由线面平行的判定定理得到PD∥平面ABC；
（II）当N是EM中点时，PN⊥平面ABDE．先证明CM⊥面ABDE，再由PN∥CM，可得PN⊥平面ABDE．

解答 证明：（I）取AC中点F，连接PF、FB．

∵F是AC的中点，P为CE的中点，
∴PF∥EA，且PF=$\frac{1}{2}$EA，
又BD∥AE，且BD=$\frac{1}{2}$AE，
∴PF∥DB，PF=DB，
∴四边形BDPF是平行四边形．
∴PD∥FB．
又∵FB?平面ABC，PD?平面ABC，
∴PD∥面ABC．
（II）当N是EM中点时，PN⊥平面ABDE．

证明：取EM中点N，连接PN、CM，
∵AC=BC，M为AB中点，
∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM?面ABC，
∴CM⊥面ABDE，
∵N是EM中点，P为CE中点，
∴PN∥CM，
∴PN⊥平面ABDE．

点评 本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，取AC中点F，EM中点 N，是解题的关键．