Question

2．已知两点A（-m，0），B（m，0）（m＞0），如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[5，+∞）．

Answer 1

分析 根据P在直线3x+4y+25=0上，设出点P的坐标，写出向量$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$；利用$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=0得出方程，再由△≥0求出m的取值范围．

解答 解：∵P在直线3x+4y+25=0上，设点P（x，$\frac{-3x-25}{4}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=（x+m，$\frac{-3x-25}{4}$），
$\overrightarrow{BP}$=（x-m，$\frac{-3x-25}{4}$）；
又∠APB=90°，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（x+m）（x-m）+${（\frac{-3x-25}{4}）}^{2}$=0，
即25x²+150x+625-16m²=0；
∴△≥0，
即150²-4×25×（625-16m²）≥0，
解得m≥5，或m≤-5，
又m＞0，∴m的取值范围是[5，+∞）．
故答案为：[5，+∞）．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．