Question

12．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+x为奇函数，则y=f（x）在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由奇函数的定义，可得a=0，求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，求得x，y轴上的截距，由三角形的面积公式计算即可得到．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+x为奇函数，
即有f（-x）=-f（x），
-$\frac{1}{3}$x³+ax²-x=-$\frac{1}{3}$x³-ax²-x，
可得a=0，
即f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x，导数f′（x）=x²+1，
则y=f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=2，
切点为（1，$\frac{4}{3}$），
即有切线方程为y-$\frac{4}{3}$=2（x-1），
令x=0，可得y=-$\frac{2}{3}$，
令y=0，可得x=$\frac{1}{3}$．
则切线与两坐标轴围成的三角形面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$．
故答案为：$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性的定义和直线的点斜式方程和三角形的面积的计算，属于中档题．