Question

7．如果△ABC长均为正整数，且依次成公差不为零的等差数列，最短边的长记为n，n∈N^*，那么称△ABC为“n-等增整三角形”．有关“n-等增整三角形”的下列说法：
①“2-等增整三角形”是钝角三角形；
②“3-等增整三角形”一定是直角三角形；
③“2015-等增整三角形”中无直角三角形；
④“n-等增整三角形”有且只有n-1个；
⑤当n为3的正整数倍时，“n-等增整三角形”中钝角三角形有$\frac{2n}{3}$-1个．
正确的有①③④⑤．（请将你认为正确说法的序号都写上）

Answer 1

分析 ①“2-等增整三角形”是边长为2、3、4的钝角三角形；
②“3-等增整三角形”是边长为3、4、5的直角三角形，或3、5、7的钝角三角形；
③用反证法证明命题成立；
④用归纳法得出命题成立；
⑤n为3的正整数倍时，设n=3k，k∈N^*，表示出三边长，得出钝角三角形的个数是多少．

解答 解：对于①，“2-等增整三角形”只有1个，边长分别是2、3、4，
∵2²+3²＜4²，最大角α是钝角，①正确；
对于②，“3-等增整三角形”有2个，边长为3、4、5，或3、5、7；
当边长为3、4、5时，是直角三角形，
当边长为3、5、7时，是钝角三角形，∴②错误；
对于③，假设“2015-等增整三角形”中有直角三角形，
不妨设三边长为2015、2015+d、2015+2d，其中d∈N^*，
则2015²+（2015+d）²=（2015+2d）²，
解得d=$\frac{2015}{2}$∉N^*，∴假设不成立，③正确；
对于④，“n-等增整三角形”有且只有n-1个，
由①、②知，n=2、3时，命题成立，
猜想“n-等增整三角形”有且只有n-1个，命题也成立，∴④正确；
对于⑤，当n为3的正整数倍时，不妨设n=3k，k∈N^*，
“n-等增整三角形”的三边长分别为3k、3k+d、3k+2d，d∈N^*，
当且仅当（3k）²+（3k+d）²＜（3k+2d）²，
即d＞$\frac{3k}{2}$时，∴k＜$\frac{2d}{3}$，为钝角三角形，
∴钝角三角形的个数有$\frac{2}{3}$n-1个，⑤正确；
综上，正确的选项有①③④⑤．

点评 本题考查了推理与证明的应用问题，考查了归纳与猜想的应用能力，是综合性题目．