Question

16．若函数f（x）在R上可导，且f（x）＞f′（x），则当a＞b时，下列不等式成立的是（　　）

• A． e^af（a）＞e^bf（b）
• B． e^bf（a）＞e^af（b）
• C． e^bf（b）＞e^af（a）
• D． e^af（b）＞e^bf（a）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求导g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$；从而可判断g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$在R上是减函数，从而判断．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$；
∵f（x）＞f′（x），
∴$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$在R上是减函数，
又∵a＞b，
∴$\frac{f（a）}{{e}^{a}}$＜$\frac{f（b）}{{e}^{b}}$；
故e^af（b）＞e^bf（a），
故选：D．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的单调性的应用，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$是难点，属于中档题．