Question

6．在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²-（n²-π）x+1有极值点的概率为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论

解答 解：在区间[-π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²-（n²-π）x+1有极值点
则f′（x）=x²+2mx-（n²-π）=0有两个不同的根，
即判别式△=4m²+4（n²-π）＞0，即m²+n²＞π对应区域的面积为4π²-π²．
如图

∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=$\frac{4{π}^{2}-{π}^{2}}{4{π}^{2}}=\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键