Question

11．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0，且b²=ac，则$\frac{b}{a+c}$的值为
（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 已知等式bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0，利用正弦定理化简，整理求出tanB的值，进而确定出B的度数，把b²=ac利用正弦定理化简，将sinB的值代入求出sinAsinC的值，再利用积化和差公式变形将cos（A+C）=-cosB代入得到A=C，确定出三角形为等边三角形，即可求出所求式子的值．

解答 解：把bsinA-$\sqrt{3}$acosB=0，利用正弦定理化简得：sinAsinB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
即sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，
∵A为△ABC内角，∴sinA≠0，
∴sinB=$\sqrt{3}$cosB，即tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
把b²=ac，利用正弦定理化简得：sin²B=sinAsinC，即sinAsinC=$\frac{3}{4}$，
整理得：-$\frac{1}{2}$[cos（A+C）-cos（A-C）]=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$cos（A-C）=$\frac{3}{4}$，即cos（A-C）=1，
∴A-C=0，即A=C=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC为等边三角形，即a=b=c，
则$\frac{b}{a+c}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，积化和差公式，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．