Question

2．把一个底面边长和高都为6的正三棱锥（底面是正三角形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面的中心的三棱锥）P-ABC的底面ABC放置在平面α上，现让三棱锥绕棱BC逆时针方向旋转，使侧面PBC落在α内，则在旋转过程中正三棱锥P-ABC在α上的正投影图的面积取值范围是（　　）

• A． [$\frac{54\sqrt{13}}{13}$，12$\sqrt{3}$]
• B． [$\frac{54\sqrt{13}}{13}$，9$\sqrt{3}$]
• C． [$\frac{48\sqrt{13}}{13}$，12$\sqrt{3}$]
• D． [$\frac{48\sqrt{13}}{13}$，3$\sqrt{39}$]

Answer 1

分析 如图所示，面PBC⊥面α，正投影图的面积最小，求出正投影图的面积最大值，即可得出结论．

解答 解：如图1所示，当平面PBC⊥平面α时正三棱锥P-ABC在α上的正投影图的面积最小，
此时PP′=6，P′D=$\sqrt{3}$，PD=$\sqrt{39}$，
所以cos∠PDP′=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}}$，
当面PBC⊥面α，cos∠ADA′=$\frac{6}{\sqrt{39}}$，
所以A′D=3$\sqrt{3}$×$\frac{6}{\sqrt{39}}$=$\frac{18}{\sqrt{13}}$，
所以S_△A′BC=$\frac{1}{2}×6×$$\frac{18}{\sqrt{13}}$=$\frac{54\sqrt{13}}{13}$．
如图2所示，当平面ABC在平面α内时正三棱锥P-ABC在α上的正投影图的面积最大，
此时投影图的面积=S_△ABC+S_△P′BC，
因为S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{6}^{2}$=9$\sqrt{3}$，S_△P′BC=$\frac{1}{2}$P′D×BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×6=3$\sqrt{3}$，
∴投影图的面积=S_△ABC+S_△P′BC=9$\sqrt{3}$+3$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$
所以在旋转过程中正三棱锥P-ABC在α上的正投影图的面积取值范围是[$\frac{54\sqrt{13}}{13}$，12$\sqrt{3}$]．

故选：A．

点评 本题考查图形的旋转，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．