Question

3．若α，β∈（0，π），求满足cosα+cosβ-cos（α+β）=$\frac{3}{2}$的α，β的值．

Answer 1

分析 构造向量$\overrightarrow{a}$=（ 1-cosβ，sinβ），$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα），则可求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|²•|$\overrightarrow{b}$|²，由（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²2≤|$\overrightarrow{a}$|²•|$\overrightarrow{b}$|²，整理得 （cosβ-$\frac{1}{2}$）²≤0，解得cosβ，结合范围即可得解．

解答 解：原等式化为（ 1-cosβ）cosα+sinβsinα=$\frac{3}{2}$-cosβ ①
构造向量$\overrightarrow{a}$=（ 1-cosβ，sinβ），$\overrightarrow{b}$=（cosα，sinα），
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（ 1-cosβ）cosα+sinβsinα=$\frac{3}{2}$-cosβ，
|$\overrightarrow{a}$|²•|$\overrightarrow{b}$|²=[（1-cosβ）²+sin²β]•[cos²α+sin²α]=2-2cosβ，
因 （$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²2≤|$\overrightarrow{a}$|²•|$\overrightarrow{b}$|²，
于是有 （$\frac{3}{2}$-cosβ）²≤2-2cosβ，
整理得 （cosβ-$\frac{1}{2}$）²≤0，
∴cosβ=$\frac{1}{2}$．
又 β∈（0，π），
∴β=$\frac{π}{3}$．
同理可得α=$\frac{π}{3}$．

点评 对于某些三角问题，若能合理地构造向量，利用向量来解，往往可使问题得到快捷方便地解决，本题主要考查了平面向量及应用，三角函数恒等变换的应用，属于难题．