Question

13．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{2{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在（2）的条件下，设数列{2-lgb_n}的前n项和为T_n，问：n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．知S_n+1=$\frac{a}{a-1}$（a_n+1-1）（a为常数，且a≠0，a≠1），利用迭代法能求出an=an
（2）得出b_n=$\frac{2{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1=$\frac{3a-1}{a-1}$$-\frac{2}{a-1}$•a^1-n，根据等比数列的通项公式的特点得出必需满足$\frac{3a-1}{a-1}$=0，即可求解a的值．
（3）C_n=2-lgb_n=2-nlg3，可判断{C_n}为等差数列，根据数列的性质得出c₆＞0，c₇＜0，可判断当n=6时，T₆最大，求解即可得出T_n的值．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
∴S_n+1=$\frac{a}{a-1}$（a_n+1-1），
从而a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n+1-a_n），
∴a_n+1=a•a_n，
当n=1时，由S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1），得a₁=a．
∴数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列，故a_n=aⁿ．
（2）∵a_n=aⁿ，S_n=$\frac{a}{a-1}$（a_n-1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．
∴b_n=$\frac{2{S}_{n}}{{a}_{n}}$+1=$\frac{3a-1}{a-1}$$-\frac{2}{a-1}$•a^1-n，
∵数列{b_n}为等比数列，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=常数，
必需满足$\frac{3a-1}{a-1}$=0，即a=$\frac{1}{3}$．
（3）根据（2）得出b_n=3ⁿ，
∴C_n=2-lgb_n=2-nlg3，可判断{C_n}为等差数列，公差为-lg3，单调递减数列．
数列{2-lgb_n}的前n项和为T_n=$\frac{n（4-（n+1）lg3）}{2}$
c₆=2-6×lg3＞0，c₇=2-7×lg3＜0，
可知：当n=6时，T₆最大为$\frac{6×[4-7lg3]}{2}$=12-21lg3

点评 本题考查数列的通项公式的应用，考查数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和错位相减法的灵活运用，利用等差数列的性质，不等式求解即可解决问题．