Question

1．过顶点在原点，焦点在y轴正半轴的抛物线的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，过点A、B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点C、D，|AF|=2|BF|，且$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BA}$=72，则该抛物线方程为（　　）

• A． x²=8y
• B． x²=10y
• C． x²=9y
• D． x²=5y

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），抛物线方程为x²=2py，利用|AF|=2|BF|，求出A，B的坐标，利用$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BA}$=72，求出p，即可求出抛物线方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），抛物线方程为x²=2py，则
因为|AF|=2|BF|，
所以x₁=-2x₂，y₁-$\frac{p}{2}$=2（$\frac{p}{2}$-y₂），
所以y₂=$\frac{p}{4}$，y₁=p，x₁=$\sqrt{2}$p，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$p，
因为$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BA}$=72，
所以（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$p，0）•（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$p，$\frac{3}{4}$p）=72，
所以p=4，
所以抛物线方程为x²=8y．
故选：A．

点评 本题考查抛物线方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定A，B的坐标是关键．