Question

7．若三条侧棱两两垂直且长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的体积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$πa³．

Answer 1

分析 利用三棱锥三条侧棱两两互相垂直，构造边长为a的正方体，则正方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径即可求出球的体积．

解答 解：∵三棱锥三条侧棱两两互相垂直，
∴构造边长为a的正方体，
则正方体的体对角线为外接球的直径，
设球半径为r，
则正方体的体对角线长为$\sqrt{3}$a=2r，
即三棱锥外接球的半径r=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
∴三棱锥外接球的体积为$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{\sqrt{3}}{2}$πa³．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$πa³．

点评 本题主要考查球的体积公式的计算，根据正三棱锥的侧棱关系构造正方体，根据正方体的体对角线和球直径之间的关系求出球半径是解决本题的关键．