Question

10．设 P_n（x_n，y_n）是直线2x-y=$\frac{n}{n+1}$（n∈N^*）与圆x²+y²=2在第一象限的交点，则极限$\lim_{n→∞}\frac{{{y_n}-1}}{{{x_n}-1}}$=（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 当n→+∞时，直线2x-y=$\frac{n}{n+1}$趋近于2x-y=1，与圆x²+y²=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．

解答 解：当n→+∞时，直线2x-y=$\frac{n}{n+1}$趋近于2x-y=1，与圆x²+y²=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而$\frac{{y}_{n}-1}{{x}_{n}-1}$可看作点 P_n（x_n，y_n）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x²+y²=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为-1．
∴$\lim_{n→∞}\frac{{{y_n}-1}}{{{x_n}-1}}$=-1．
故选：A．

点评 本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．