Question

20．如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，n∈N^*，则函数y=f₄（x）的图象为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 已知函数y=f（x）的图象为折线ABC，设f₁（x）=f（x），f_n+1 （x）=f[f_n（x）]，可以根据图象与x轴的交点进行判断，求出f₁（x）的解析式，可得与x轴有两个交点，f₂（x）与x轴有4个交点，以此来进行判断．

解答 解：函数y=f（x）的图象为折线ABC，设f₁（x）=f（x），f_n+1 （x）=f[f_n（x）]，
由图象可知f（x）为偶函数，关于y轴对称，所以只需考虑x≥0的情况即可：
由图f₁（x）是分段函数，
函数f₁（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-1，0≤x≤\frac{1}{2}}\\{-4x+3，\frac{1}{2}＜x≤1}\end{array}\right.$，
是分段函数，
∵f₂（x）=f（f（x）），
当0≤x≤$\frac{1}{2}$，f₁（x）=4x-1，可得-1≤f（x）≤1，仍然需要进行分类讨论：
①0≤f（x）≤$\frac{1}{2}$，可得0＜x≤$\frac{1}{4}$，此时f₂（x）=f（f₁（x））=4（4x-1）=16x-4，
②$\frac{1}{2}$≤f（x）≤1，可得$\frac{1}{4}$＜x≤$\frac{1}{2}$，此时f₂（x）=f（f₁（x））=-4（4x-1）=-16x+4，
可得与x轴有2个交点；
当$\frac{1}{2}$≤x≤1，时，也分两种情况，此时也与x轴有两个交点；
∴f₂（x）在[0，1]上与x轴有4个交点；
那么f₃（x）在[0，1]上与x轴有6个交点；
∴f₄（x）在[0，1]上与x轴有8个交点，同理在[-1.0]上也有8个交点，
故选：D．

点评 此题主要考查函数的图象问题，以及分段函数的性质及其图象，属于中档题．