Question

9．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：

月份x	1	2	3	4	5
甲的纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8
乙的纯收入z	2.8	3.4	3.8	4.5	5.5

（1）由表中数据直观分析，甲、乙两人中谁的纯收入较稳定？
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；
（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．

Answer 1

分析 （1）由表中数据的分散程度可得结论；
（2）由表中数据可得$\overline{x}$，$\overline{y}$，进而可得$\widehat{b}$和$\widehat{a}$，可得回归方程，令x=6可得预测值；
（3）列举可得总的基本事件有10个，符合题意的有6个，由概率公式可得．

解答 解：（1）由表中数据可知，甲的纯收入比乙的纯收入集中，故甲的纯收入较稳定；
（2）∵$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5）=3，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8）=3.8，
$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）²=（1-3）²+（2-3）²+（3-3）²+（4-3）²+（5-3）²=10，
同理可得$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=4.9，
∴$\widehat{b}$=$\frac{4.9}{10}$=0.49，$\widehat{a}$=3.8-0.49×3=2.33，
∴所求回归方程为$\widehat{y}$=0.49x+2.33，
令x=6可得$\widehat{y}$=0.49×6+2.33=5.27，
∴预测甲在6月份的纯收入为5.27千元；
（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月的基本事件有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，
记“恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中”为事件A，则A包括的基本事件有：
（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种，
∴恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率为P（A）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$

点评 本题考查线性回归方程，涉及列举法求古典概型的概率，属中档题．