Question

10．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB=3，BC=BD=4，点E，F分别是AC，AD的中点
（1）判断直线EF与平面BCD的位置关系，并说明理由
（2）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）在△ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，由三角形中位线定理可得EF∥CD，然后利用线面平行的判定得答案；
（2）直接由三棱锥的体积公式结合已知条件求得三棱锥A-BCD的体积．

解答 解：（1）EF∥平面BCD．
事实上，
∵在△ACD中，点E，F分别是AC，AD的中点，∴EF∥CD，
又∵EF?平面BCD，CD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD；
（2）∵AB⊥平面BCD，∴AB为三棱锥A-BCD的高，
又BC⊥BD，BC=BD=4，∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×4×4=8$，
又AB=3，∴${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×8×3=8$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．