Question

20．如图，在多面体ABCDE中，EA⊥平面ABC，DC∥EA且EA=2DC，CA=CB，F为BE的中点．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：平面ADF⊥平面ABE．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明FD∥CG即可证明DF∥平面ABC；
（2）根据面面垂直的判定定理即即可证明平面ADF⊥平面ABE

解答 （1）证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG．
∵F为BE的中点．
∴EF=FB，AG=GB，
∴FG∥EA且FG=$\frac{1}{2}$EA．
又DC∥EA，CD=$\frac{1}{2}$EA，
∴GF∥DC且GF=DC．
∴四边形CDFG为平行四边形，
∴FD∥CG．
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）证明：△ABC中，CA=CB．G是AB的中点，
∴CG⊥AB
∵EA⊥平面ABC，CG?平面ABC，
∴AE⊥CG．
∵AB∩EA=A，AB?平面AEB，EA?平面AEB
∴CG⊥平面AEB．
又∵DF∥CG，
∴DF⊥平面AEB．DF?平面BDE
∴平面ADF⊥平面ABE．

点评 本题主要考查空间面面垂直以及线面平行的判定，根据相应的判定定理是解决本题的关键．