Question

11．以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=6，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=10cosθ}\\{y=10sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）．
（1）求直线l的直角坐标方成；
（2）求直线l被圆截得得弦长．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=6，展开并且把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出；
（2）利用cos²θ+sin²θ=1即可把圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=10cosθ}\\{y=10sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得：圆心（0，0）到直线l的距离d，即可得出直线l被圆截得得弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=6，展开为$\frac{1}{2}ρsinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ=6，化为$\sqrt{3}$x-y+12=0．
（2）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=10cosθ}\\{y=10sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），化为x²+y²=100，
圆心（0，0）到直线l的距离d=$\frac{12}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=6，
∴直线l被圆截得得弦长=2$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=16．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．