Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{12}$）•f（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{12}$）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的表达式，利用三角函数的单调性即可求出单调递增区间．

解答 解：（1）由图象知函数的周期T=2（$\frac{11π}{12}-\frac{5π}{12}$）=π，
即ω=$\frac{2π}{T}=\frac{2π}{π}$=2，
则f（x）=Asin（2x+φ），
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴由五点对应法知2×$\frac{5π}{12}$+φ=π，
解得φ=$\frac{π}{6}$，即f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵f（0）=Asin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}A$=1，
∴A=2，
即函数f（x）的解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）g（x）=f（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{12}$）•f（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{12}$）=2sin（x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）•2sin（x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=4sinxsin（x+$\frac{π}{3}$）
=4sinx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即g（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．综合考查三角函数的性质．