Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点B（0，-2）及左焦点F₁的直线交椭圆于C、D两点，右焦点为F₂．
求：（1）椭圆的方程；
（2）三角形CDF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）通过将点A代入椭圆方程及$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，计算即得结论；
（2）通过（1）知过点B（0，-2）及F₁（-1，0）的直线方程为：2x+y+2=0，利用公式可得右焦点F₂（1，0）到CD的距离d、|CD|，进而可得结论．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），
∴$\frac{0}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，即b²=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=2，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由（1）知F₁（-1，0），
∴过点B（0，-2）及F₁（-1，0）的直线方程为：2x+y+2=0，
由题可设C（x₁，-2（1+x₁）），D（x₂，-2（1+x₂）），（不妨令x₁＜x₂），
∵C、D在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上，
∴右焦点F₂（1，0）到CD的距离d=$\frac{|2+0+2|}{\sqrt{4+1}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+$4（1+{x}_{1}）^{2}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+4$（1+{x}_{2}）^{2}$=1，
解得：x₁=-$\frac{8+\sqrt{10}}{9}$，x₂=$\frac{\sqrt{10}-8}{9}$，
∴|CD|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{5（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\frac{10\sqrt{2}}{9}$，
∴三角形CDF₂的面积为：$\frac{1}{2}$•d•|CD|=$\frac{1}{2}•\frac{4\sqrt{5}}{5}•\frac{10\sqrt{2}}{9}$=$\frac{4\sqrt{10}}{9}$．

点评 本题考查求椭圆的方程，求三角形的面积，注意解题方法的积累，属于中档题．